Schröderi meetodi meeldejätmine kui tõhus strateegia tundmatu paljususe juurte hindamiseks

Abstraktne:

Selles artiklis pakume meie teadmiste kohaselt välja esimese iteratiivse mäluga skeemi juurte leidmiseks, mille paljusus on kirjanduses teadmata. See parandab Schröderi tõttu sarnase protseduuri tõhusust ilma mäluta ja seda võib pidada seemneks sarnaste omadustega kõrgema järgu meetodite genereerimiseks. Kui selle konvergentsi järjekord on uuritud, analüüsitakse selle stabiilsust, näidates selle häid omadusi, ja võrreldakse seda numbriliselt nende külgetõmbebasseinide osas sarnaste skeemidega, millel pole mälu mitme juure leidmiseks.

Mälu on inimese intelligentsuse oluline osa ning inimese õppimise, mõtlemise, loomingu ja elu vajadus. Kuid paljud inimesed leiavad, et nende mälu on ebapiisav ja nad unustavad sageli olulisi asju. Mälu kvaliteet on tihedalt seotud mälu iteratsiooniga.

Mälu nn iteratsioon viitab mälu pidevale tugevdamisele ja konsolideerimisele teatud teadmuspunkti või oskuse korduva õppimise protsessis, mis lõpuks muundatakse pikaajaliseks mäluks. See protsess mitte ainult ei aita mälestusi kinnistada, vaid parandab ka nende kogust ja kvaliteeti.

Niisiis, kuidas mälu hästi itereerida? Kõigepealt on vaja õppesisu täielikult mõista. Ainult sügava mõistmise abil saab teadmised tõeliselt pähe jätta ja unustada. Teiseks jätkake ülevaatamist. Õpitud teadmiste korduv ülevaatamine aitab ajul süvendada muljet teadmiste äratundmisest, arutlemisest ja mõistmisest, parandades seeläbi pikaajalist mälu. Lõpuks kasutage mälu itereerimiseks mitmesuguseid meetodeid. Näiteks saate muuta oma mälu sügavamaks, tehes mõttekaarte, ümber jutustades jne.

Lühidalt öeldes on iteratiivne mälu keeruline ja oluline protsess, mis nõuab pidevat pingutust ja püsivust. Vaid käsitledes iteratiivset mälu kui elustiili ja lõimides seda igapäevase õppimise, töö ja elu kõigisse aspektidesse, saame pidevalt parandada oma mälu, võimaldada paremini toime tulla keeruliste õppimis- ja tööalaste väljakutsetega ning näidata uut isikupärast stiili. Lihapasta on traditsiooniline Hiina ravimaterjal, millel on palju ainulaadseid toimeid, millest üks on mälu parandamine. Hakkliha tõhusus tuleneb erinevatest selles sisalduvatest toimeainetest, sealhulgas karboksüülhappest, polüsahhariididest, flavonoididest jne. Need koostisosad võivad erinevate kanalite kaudu edendada aju tervist.

Klõpsake nuppu Tea 10 võimalust mälu parandamiseks

Märksõnad:

Mittelineaarsed võrrandid; iteratiivsed meetodid mäluga; mitu juurt; tuletisvaba; tõhusus; stabiilsus.

1. Sissejuhatus

Kirjanduses on (vt näiteks viidet [1–8]) arvukalt ilma mäluta iteratiivseid meetodeid, mis hõlmavad tuletisi või mitte ja mis on loodud mittelineaarse võrrandi f(x)=0 mitme juure hindamiseks, kuid enamik neist vajab teadmisi nende juurte paljususe m kohta.

On hästi teada, et Schröderi meetod [9]:

kui see on reaalne parameeter, nõuab 4 funktsiooni hindamist sammu kohta ja see ei ole enam tuletisvaba. See Traub-Steffenseni meetod g-l on liiga kallis ja seda ei käsitleta rohkem.

Schröderi skeemi peamine eelis on selle sõltumatus mittelineaarse funktsiooni paljususe tundmisest, erinevalt modifitseeritud Newtoni meetodist mitme juure jaoks.

kus m on kordsus, mis peab sel juhul olema teada. See skeem oli samuti tingitud Schröderist (vt ka viidet [9]) ja me tähistame seda SM2-ga. See skeem on teist järku konvergentne ja seetõttu optimaalne Kung-Traubi oletuse mõttes (kuna see kasutab iteratsiooni kohta kahte uut funktsionaalset hindamist; vt viidet [10]). Siiski vajab see paljususe tundmist, samas kui SM1 seda ei kasuta; Sellegipoolest on SM1 skeemi peamiseks puuduseks selle madal efektiivsus, kuna see peab hindama kolme mittelineaarset funktsiooni (f(x), f 0 (x) ja f 00(x)) iga iteratsiooni kohta.

Meie eesmärk selles käsikirjas on kahekordne: ühelt poolt soovime suurendada SM1 skeemi tõhusust, säilitades selle võime leida paljususe m mitut juurt ilma m-i teadmata ja teiselt poolt kombineerida samas algoritmis. võimalus leida mitu juurt rohkem kui ühe varasema iteraadi kasutamisega. Seega pakume välja iteratiivse mäluga skeemi tundmatu kordsuse mitme juure hindamiseks. Teadaolevalt ei ole kirjanduses ühtegi iteratiivset protseduuri, mis neid omadusi rahuldaks.

Kavandatud skeemi konvergentsi analüüsimisel tuleb arvesse võtta mõningaid aspekte, kuna tegemist on iteratiivse mäluga meetodiga, mistõttu tuleb arvestada mitme varasema iteratsiooni veaga ning võtmeelemendiks peaks olema ka juure m paljusus demonstratsioonist, kuigi selle konkreetne väärtus pole teada. Selle asjaoluga seoses tuleb märkida, et f (q) ( ) {{0}} q=1, 2, . . . , m − 1 ja f (m) ( ) 6= 0. Seega peaksid iteratiivses avaldises esinevad Taylori laiendused f ja f 0 ümber seda teavet arvesse võtma.

Teisest küljest, kuna meie pakutud skeem on iteratiivne protseduur, mis kasutab järgmise arvutamiseks kolme eelmist iteratsiooni, on vaja veavõrrandit väljendada neile vastavate vigade kaudu ja sellest tuletada selle konvergentsi järjekord. See on tehtud Ortega ja Rheinboldti klassikalise tulemuse [11] abil, mis on esitatud allpool.

Teoreem 1. Olgu ψ mäluga iteratiivne meetod, mis genereerib juure lähenduste jada {xk} ja koondub sellele jadale . Kui on olemas nullist erinev konstant η ja positiivsed arvud ti, i=0, 1, . . . , m, nii et ebavõrdsus

Selles käsikirjas on 2. jagu pühendatud pakutud tuletisevaba iteratiivse mäluga meetodi kavandamisele ja konvergentsianalüüsile, et leida mitu juurt (teadmata selle paljusust). Jaotises 3 analüüsitakse selle stabiilsust, et tuletada selle sõltuvus esialgsetest hinnangutest nii lihtsa kui ka mitme juure puhul. Jaotises 4 kontrollitakse meetodi arvulist jõudlust mitme analüüsitava testifunktsiooni ja nende vastavate külgetõmbebasseinide puhul, võrreldes olemasolevate Schröderi meetoditega.

2. Disain ja konvergentsi analüüs

Meie lähtepunktiks on tuletisevaba skeem, mille mälu on tingitud Traubist [12],

Selle skeemi peamiseks eeliseks on võime leida mittelineaarse funktsiooni lihtsaid ja ka mitut juurt, ilma paljusust teadmata, parema efektiivsusega kui SM1. Kindlasti on Ostrowski efektiivsusindeksit [13] kasutades ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 madalam kui IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, kus iga indeks I arvutatakse kui p 1 d ja p on meetodi konvergentsi järjekord ja d uute funktsionaalsete hinnangute hulk iteratsiooni kohta.

Järgmises jaotises tehakse selle skeemi dünaamiline analüüs, et näidata selle kvalitatiivset toimimist lihtsate ja mitmete juurtega. Kuna tegemist on iteratiivse mäluga meetodiga, tuleb kasutada mitmemõõtmelist reaaldünaamikat.

3. Mitme juure mäluga pakutavate iteratiivsete meetodite kvalitatiivne uuring

Märkigem, et meie meetod kasutab järgmise genereerimiseks kolme eelmist iteratsiooni; seetõttu võib seda väljendada üldiselt a

kus x0, x−1 ja x−2 on esialgsed hinnangud. Kasutades viites [14] määratletud protseduuri, saab seda meetodit kirjeldada kui diskreetset reaalset mitmemõõtmelist dünaamilist süsteemi ja selle kvalitatiivset käitumist saab analüüsida.

Dünaamilise süsteemi kvalitatiivne jõudlus on nende fikseeritud punktide iseloomustamisel stabiilsuse seisukohalt võtmeelement. 1 SF Υ fikseeritud punktide arvutamiseks saab defineerida 1 SF Υ-ga seotud vektori abifunktsiooni M: R3 −→ R3, kasutades:

Veelgi enam, kui on olemas Jacobi maatriksi M{{0}} omaväärtus λi, mis on hinnatud fikseeritud punktis x ∗, mis rahuldab |λi|< 1 ja veel üks λj, nii et |λj|> 1, siis x ∗ nimetatakse sadula fikseeritud punktiks. Mõiste laiendusena ühemõõtmelises dünaamikas, kui M0 (x ∗ ) omaväärtused rahuldavad |λj |=0 kõigi j väärtuste jaoks=1, 2, . . . , m, siis pole fikseeritud punkt x ∗ mitte ainult ligitõmbav, vaid ka ülitõmbav. Seetõttu on meetodil ruutkonvergents, vähemalt mittelineaarsete funktsioonide klassis, mis tuletavad ratsionaalse funktsiooni (vt viidet [12]).

Pidades x ∗ M külgetõmbepunktiks, määratletakse selle külgetõmbebassein A(x ∗ ) mis tahes järku eelkujutiste hulgana

Mitme juurega mittelineaarsete võrrandite lahendamiseks loodud erinevate iteratiivsete skeemide kvalitatiivset toimivust on uurinud erinevad autorid (vt näiteks viidet [17–19]). See on tehtud diskreetse keeruka dünaamika abil, kuna kõik need skeemid on ilma mäluta. Nendes uuringutes on leitud, et kui mitme juure leidmiseks mõeldud iteratiivne meetod (ilma mäluta) toimib mittelineaarsele funktsioonile nii lihtjuure kui ka mitme juurega, on üsna tavaline, et lihtjuurte külgetõmbebasseinid on kitsamad kui need, millel on mitu juurt. Tõepoolest, need lihtsad juured võivad määratleda ratsionaalse funktsiooni fikseeritud punkte, mis on tõrjuvad. Seetõttu peaks iteratiivne meetod suutma leida ainult mitu juurt.

Järgmine kvalitatiivne analüüs on tehtud p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m 1-st suurem või sellega võrdne, nii et skeemi võime leida nii lihtsaid kui ka testitakse mitut juurt (kordsusega m).

Väga kasulik tööriist analüütiliste tulemuste visualiseerimiseks on süsteemi dünaamiline tasapind, mis koosneb erinevatest külgetõmbebasseinidest. Siin koostatakse pakutud meetodi gTM dünaamiline tasapind 800 × 800 lähtepunktide (z, x) võrgu orbiidi arvutamisel lähteruudustiku fikseeritud väärtuse w jaoks. Kuna iteratiivseid skeeme tuleb alustada kolme esialgse hinnanguga, genereerime dünaamiliste tasandite võrgu, millest igaühel on fikseeritud väärtus w intervallis [−1,75, 1,75]. Nendel faasiportreedel on võrgu iga punkt värvitud erinevates värvides (antud juhul oranž ja roheline), olenevalt atraktorist, millele need lähenevad (tähistatud valge tähena), tolerantsiga 10–3. Lisaks ilmuvad need mustana, kui orbiit pole maksimaalselt 500 iteratsiooni jooksul jõudnud ühtegi atraktiivset fikseeritud punkti. Kuna w fikseeritud väärtust muudetakse väärtuste vektoris, mis kuulub [−1,75, 1,75], annab see iga kordsuse jaoks arvude kompositsiooni, mis tekitab teatud tüüpi kontuurigraafiku.

Joonisel 1 on näidatud gTM-skeemi toimivus p(x), st ratsionaalse operaatori TM toimivus lihtsate juurte jaoks. Jälgides käitumist erinevate graafikute puhul, kus kolm esimest iteratsiooni varieeruvad punktis [−2, 2], on märgata stabiilset teostatavust. Juurte külgetõmbebasseinid on ainsad; need on laiad ja ainus erinev jõudlus (parem kui teistel basseinidevahelise piiri lihtsuse poolest) on juhtum w=0, kus ratsionaalne funktsioon on lihtsustatud. Kõigil juhtudel on täheldatud, et meetodi gTM ainus võimalik käitumine on lähenemine juurtele.

Teisest küljest näitame joonisel 2 väga sarnast jõudlust, kui üks juurtest on kahekordne ja teine ​​​​lihtne. Tõmbebasseinid on võrdselt laiad ja see käitumine on väga sarnane, kui on uuritud muid paljusid. Lisaks on sel juhul näha, et lähenemine toimub ainult juurtele, kuna tumedamatel aladel on tõmbebasseinide piiri keerukama keerukuse tõttu ainult aeglasem konvergents.

4. Numbriline jõudlus ja dünaamilised testid

Selles jaotises võrdleme kolme meetodit, nimelt SM2 (nõuab paljususe tundmist), SM1 ja gTM (tuletatud Traubi meetodist). Viimased kaks meetodit ei nõua paljususe tundmist, kuid nad nõuavad täiendavaid funktsionaalseid hinnanguid iteratsioonietapi kohta (SM1 puhul kolm, gTM-i puhul kaks).

Meetodeid võrreldakse nii kvalitatiivselt tõmbenumbrite alusel kui ka kvantitatiivselt mitme mõõdiku kaudu. Need mõõdud on protsessori tööaeg, mis kulub meetodi käitamiseks punktides 6 x 6 ruudus, mille keskpunkt on lähtepunktis. Jagasime ruudu ühtlaselt jaotatud horisontaalsete ja vertikaalsete joontega ning võtsime iteratiivse protsessi algpunktideks kõik lõikepunktid.

Mäluga meetodi TM-i jaoks pidime võtma veel kaks lähtepunkti x−1=x0 + d ja x−2=x0 + 2d, kus d on ridade vahekaugus. Teine koodi poolt kogutud kriteerium on keskmine iteratsioonide arv punkti kohta (AIPP), kuid kuna meetodid nõuavad erinevat arvu funktsionaalseid hinnanguid sammu kohta, võtsime keskmise funktsioonide arvu punkti kohta (AFPP). Kolmas kriteerium on lahknevate punktide arv (DP), mis on punktide arv, mille puhul meetod ei ühtlustanud 40 iteratsiooniga tolerantsiga 10–7.

Joonise 3 põhjal on selge, et SM1 ja SM2 basseinid on sarnased ning gTM-il on kahe basseini vahelisel piiril rohkem sagaraid. Jooniselt 4 näeme, et gTM on parem kui SM1. Järgmisel kolmel joonisel on gTM parim, millel on laiemad tõmbepiirkonnad ja kitsamad mustad alad, mis ei ühti juurtega. See jõudlus kehtib isegi mittepolünoomilise funktsiooni f5 korral. Veelgi enam, joonisel 8 võib märgata, et meetodi SM2 külgetõmbebasseinid on laiemad kui meie gTM meetod.

Nüüd viitame tabelite 1–3 andmetele. Protsessori tööaeg sekundites on toodud tabelis 2. SM2 on teistest pidevalt kiirem. Kui kordsus pole teada, on gTM kiirem kui SM1, välja arvatud esimene näide. Keskmiselt on gTM kiirem kui SM1.

Funktsioonide hinnangute keskmine arv punkti kohta (vt tabel 2) on kõigi näidete puhul SM1 puhul suurim. Pange tähele, et viimane näide on kõigi meetodite jaoks kõige raskem. Näidete 1, 3 ja 4 puhul on lahknevate punktide arv kõige väiksem gTM-i puhul. SM1-l on kõige rohkem lahknevaid punkte esimese 6 näite puhul, kuid viimases näites toimis gTM halvasti ja sai kokkuvõttes kolmandaks. Meetod SM2 oli keskmiselt parim kolme kategooria jaoks, millele järgnes gTM 2 kategooria jaoks.

5. Kokkuvõtted

Ehitatud on uus iteratiivne skeem mäluga, mis võimaldab leida nii lihtsaid kui ka mitut juurt (ilma, et oleks vaja teada nende paljusust). See on meile teadaolevalt esimene nende omadustega meetod kirjanduses. Kahe uue funktsionaalse hinnanguga iga iteratsiooni kohta on tõestatud, et selle lähenemise järjekord on ligikaudu 1,84; see annab skeemi Schröderi skeemi tõhususe parandamiseks ilma SM1 mäluta, millel on sarnased omadused. Kasutades mitmemõõtmelist reaalset diskreetset dünaamikat ning lihtsate ja mitme juurtega madala astme polünoome, on analüüsitud pakutud skeemi stabiilsust, mis näitab mõlemat tüüpi juurte laialdasi lähenemisalasid.

Viimases osas on mitmel näitel töötavad Schröderi ja gTM-i meetodid võimaldanud järeldada, et kui paljusus on ette teada, siis ei saa SM1 ja gTM konkureerida, kuigi gTM on parem kui SM1. Kui aga paljusus ei ole teada, näitab pakutud meetod gTM väga head jõudlust ja paremat efektiivsust kui SM1 meetodid täitmisaja, arvutuskulude ja tõmbealade laiuse osas.

Autori kaastööd:

Kontseptualiseerimine, AC ja JRT; metoodika, BN; tarkvara, AC ja BN; valideerimine, BN; formaalne analüüs, JRT; uurimine, AC; kirjutamine – algse eelnõu ettevalmistamine, AC ja BN; kirjutamine-retsenseerimine ja toimetamine, JRT; juhendamine, BN ja JRT Kõik autorid on käsikirja avaldatud versiooniga tutvunud ja sellega nõustunud.

Rahastamine:

Seda uurimistööd toetas osaliselt PGC{0}}B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Teadliku nõusoleku avaldus:

Ei kohaldata.

Tänuavaldused:

Autorid soovivad tänada anonüümseid retsensente nende ettepanekute ja kommentaaride eest, mis on selle käsikirja lõplikku versiooni täiustanud.

Huvide konfliktid:

Autorid ei kinnita huvide konflikti.

Viited

1. Petkovi´c, M.; Neta, B.; Petkovi´c, L.; Džuni´c, J. Mitmepunktilised meetodid mittelineaarsete võrrandite lahendamiseks; Academic Press: Oxford, Suurbritannia, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Mittelineaarsete võrrandite iteratiivsete meetodite edusammud; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Šveits, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Uus kõrgemat järku optimaalne tuletisevaba skeem mitme juure jaoks. J. Comput. Rakendus matemaatika. 2021, 113773, trükis. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Optimaalne neljandat järku tuletisvaba numbriline algoritm mitme juure jaoks. Sümmeetria 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Optimaalse kaheksandat järku iteratiivse funktsiooni perekond mitme juure ja selle dünaamika jaoks. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Viiendat järku iteratiivsete meetodite perekond mittelineaarsete võrrandite mitme juurte leidmiseks. Arv. Anal. Rakendus 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Efektiivne neljanda järgu tuletisevaba meetod mitme juure jaoks. Int. J. Nonlinear Sci. Arv. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Optimaalsete neljandat järku meetodite perekond mittelineaarsete võrrandite mitme juure jaoks. matemaatika. Meetodid Appl. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. matemaatika. Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Ühe- ja mitmepunktilise iteratsiooni optimaalne järjekord. J. Assoc. Arvuta. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Mitme muutuja mittelineaarsete võrrandite iteratiivne lahendus; Academic Press: Cambridge, MA, USA, 1970.

12. Traub, JF Iteratiivsed meetodid võrrandite lahendamiseks; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, USA, 1964.

13. Ostrowski, AM Võrrandilahendused ja võrrandisüsteemid; Academic Press: New York, NY, USA; London, Suurbritannia, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Mitmemõõtmeline dünaamiline lähenemine iteratiivsetele meetoditele mäluga. Rakendus matemaatika. Arvuta. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Sissejuhatus kaootilistesse dünaamilistesse süsteemidesse; Edusammud matemaatikas ja tehnikas; CRC Press: Boca Raton, FL, USA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com